7. Атом водню в квантовій механіці

Рівнянням руху мікрочастинки в різних силових полях є хвильове рівняння Шредінгера.

Для стаціонарних станів рівняння Шредінгера буде таким:

де Δ - оператор Лапласа

m - маса частинки, h - постійна Планка, E - повна енергія, U - потенційна енергія.

Рівняння Шредінгера є диференціальним рівнянням другого порядку і має рішення, яке вказує на те, що в атомі водню повна енергія повинна мати дискретний характер: E 1, E 2, E 3 ...

Ця енергія знаходиться на відповідних рівнях n = 1,2,3, ... за формулою:

Самий нижній рівень E відповідає мінімальній потенційної енергії. Цей рівень називають основним, всі інші - збудженими.

У міру росту головного квантового числа n енергетичні рівні розташовуються тісніше, повна енергія зменшується, і при n = ∞ вона дорівнює нулю. При E> 0 електрон стає вільним, непов'язаним з конкретним ядром, а атом - іонізованим.

Повний опис стану електрона в атомі, крім енергії, пов'язане з чотирма характеристиками, які називаються квантовими числами. До них відносяться: головне квантове число п, орбітальне квантове число l, магнітне квантове число m 1, магнітне спінове квантове число m s.

Хвильова φ-функція, що описує рух електрона в атомі, являє собою не одновимірну, а просторову хвилю, відповідну трьома ступенями свободи електрона в просторі, тобто хвильова функція в просторі характеризується трьома системами. Кожна з них має свої квантові числа: п, l, m l.

Кожній мікрочастинок, в тому числі і електрону, також властиво власне внутрішнє складний рух. Цей рух може характеризуватися четвертим квантовим числом m s. Поговоримо про це докладніше.

A. Головне квантове число п, згідно з формулою, визначає енергетичні рівні електрона в атомі і може приймати значення п = 1, 2, 3 ...

Б. Орбітальне квантове число /. З рішення рівняння Шредінгера випливає, що момент імпульсу електрона (його механічний орбітальний момент) квантуется, тобто приймає дискретні значення, що визначаються формулою

де L l - момент імпульсу електрона на орбіті, l - орбітальне квантове число, яке при заданому п приймає значення i = 0, 1, 2 ... (n - 1) і визначає момент імпульсу електрона в атомі.

B. Магнітне квантове число m l. З рішення рівняння Шредінгера випливає також, що вектор L l (момент імпульсу електрона) орієнтується в просторі під впливом зовнішнього магнітного поля. При цьому вектор розгорнеться так, що його проекція на напрямок зовнішнього магнітного поля буде

L l z = hm l

де m l називається магнітним квантовим числом, яке може приймати значення m l = 0, ± 1, ± 2, ± 1, тобто всього (2l + 1) значень.

Враховуючи сказане, можна зробити висновок про те, що атом водню може мати одне і те ж значення енергії, перебуваючи в декількох різних станах (n - одне і те ж, а l і m l - різні).

При русі електрона в атомі електрон помітно виявляє хвильові властивості. Тому квантова електроніка взагалі відмовляється від класичних уявлень про електронні орбітах. Мова йде про визначення ймовірного місця знаходження електрона на орбіті, тобто місцезнаходження електрона може бути представлено умовним «хмарою». Електрон при своєму русі як би «розмазаний» по всьому об'єму цього «хмари». Квантові числа n і l характеризують розмір і форму електронного «хмари», а квантове число m l - орієнтацію цього «хмари» у просторі.

У 1925 р . американські фізики Уленбек і Гаудсмит довели, що електрон також володіє власним моментом імпульсу (спіном), хоча ми не вважаємо електрон складної мікрочастинок. Пізніше з'ясувалося, що спіном володіють протони, нейтрони, фотони і інші елементарні частинки

Досліди Штерна, Герлаха та інших фізиків призвели до необхідності характеризувати електрон (і мікрочастинки взагалі) додаткової внутрішньої ступенем свободи. Звідси для повного опису стану електрона в атомі необхідно задавати чотири квантових числа: головне - п, орбітальне - l, магнітне - m l, магнітне спінове число - m s.

У квантовій фізиці встановлено, що так звана симетрія або асиметрія хвильових функцій визначається спіном частинки. Залежно від характеру симетрії частинок всі елементарні частинки і побудовані з них атоми і молекули діляться на два класи. Частинки з напівцілим спіном (наприклад, електрони, протони, нейтрони) описуються асиметричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Ці частинки називаються ферміонами. Частинки з цілочисловим спіном, в тому числі і з нульовим, такі як фотон (Ls = 1) або л-мезон (Ls = 0), описуються симетричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна. Ці частинки називаються бозонами. Складні частки (наприклад, атомні ядра), складені з непарного числа ферміонів, також є ферміонами (сумарний спін - напівцілий), а складені з парного - бозонами (сумарний спін - цілочисельний).